nilai_ekstrim_grafik_fungsi.png | |
File Size: | 203 kb |
File Type: | png |
nilai_ekstrim_fungsi_dan_teknik_membuat_grafik_fungsi.swf | |
File Size: | 3871 kb |
File Type: | swf |
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Definisi :
1.fungsi f dikatakan naik pada interval IE, jika untuk sembarang X1, X2 ∈ I dengan X1 < X2 maka: f (X1 ) < f (X2 )
2. Fungsi f dikatakan turun pada interval I, jika untuk sembarang X1, X2 ∈ I dengan X1 < X2 maka:
f (X1 ) > f (X2 )
Contoh soal:
¨Fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 turun untuk semua x yang memenuhi ....
A.-3 < x < -1 C. 1 < X < 3 E. 3 < X < 4
B. -1 < X < 3 D. 1 < X < 4
Penyelasaian :
F(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2
F’(x) = 3x2 -12x + 9
Syarat fungsi turun : f’(x) < 0
3x2 - 12x + 9 < 0
x2 - 4x + 3 < 0
(x – 1)(x – 3) < 0
dengan garis bilangan diperoleh 1<x<3
Nilai Ekstrim
Definisi :
1. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di C, jika terdapat interval terbuka yang memuat c, sehingga:
f (c) ≥ f (x)
untuk x dalam interval tersebut.
2. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di C, jika terdapat interval terbuka yang memuat c, sehingga:
f (c) ≤ f (x)
untuk x dalam interval tersebut.
3. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif dan nilai maksimum relatif di C, dikatakan mempunyai ekstrim relatif di C.
Definisi :
Jika f’(x)=0, maka fungsi f dikatakan stasioner di c. Nilai f(c)disebut nilai stasioner dari f. Titik (c,f(c))disebut titik nilai stasioner dari f.
Kecekungan dan Titik Belok
Definisi 6.1
grafik fungsi f dikatakan cekung keatas pada interval I, jika grafik f terletak diatas semua garis singgungnya pada I, grafik fungsi f dikatakan cekung kebawah pada interval I. Jika grafik f terletak dibawah semua garis singgungnya pada I.
Teorema 7.1 uji kecekungan
1. Jika f” (x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung keatas pada I
2. Jika f” (x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung kebawah pada I
Definisi 6.2
Titik P pada kurva disebut titik belok, jika kurva berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas di P
Jika turunan kedua ada dititik belok , maka turunan kedua dititik tersebutsama dengan nol
Teorema 7.2
Jika f mempunyai turunan pada interval yang memuat c dan
(c, f(c)) adalah titik belok, maka f” c ada dan f”(c)=0.
Selain bermanfaat untuk menentukan titik belok, keuntungan lain dari turunan kedua adalah bahwa turunan tersebut dapat digunakan sebagai uji ekstrim relatif.
Teorema 7.3 (uji turunan kedua untuk ekstrim relatif)
misalkan f mempunyai turunan pada interval terbuka yang memuat c dan f’(c)=0
1. Jika f”(c) < 0, maka f mempunyai nilai maksimum relatif di c.
2. Jika f”(c) > 0, maka f mempunyai nilai minimum
relatif di c.
Ekstrim Mutlak pada Interval Tertutup
Definisi 6.3
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval tertutup dan c anggota interal.
1. Jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam interval , maka f(c) disebut nilai maksimum mutlak dari f pada interval tersebut.
2. Jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam interval , maka f(c) disebut nilai minimum mutlak dari f pada interval tersebut.
3. Jika f(c) maksimum mutlak dan minimum mutlak, maka f(c) disebut nilai ekstrim mutlakdari f
Teorema 6.4 (teorema nilai ekstrim)
Jika fungsi f aljabar dengan daerah asal interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a,b].
Contoh :
Diketahui f(x)= x3 - 3x2 pada interval tertutup [1,4]. Tentukan ekstrim mutlak dari f pada interval tersebut.
Penyelesaian :
Karena kontinu pada interval tertutup. Kita mempunyai
f’(x)= 3x2 – 6x
F’(x)=0⇔3x(x-2)=0
⇔ x=2 atau x=0( tidak memenuhi karena diluar interval)
F’(x)= 13 – 3(1)2 = -2 dan f(4)= 43 – 3(4)2 = 16, Dengan membandingkan ketiga bilangan ini, kita dapat nilai maksimum mutlak adalah f(4)=16 dan minumum mutlak adalah f(2)=-4.
PARABOLA
Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum
Y= f(x) = ax2 + bx + c;a≠0;a,b,c konstanta real.
¨Jika nilai a>0 maka parabola terbuka keatas dan mempunyai nilai ekstrim minimum, ¨Jika nilai a<0 maka parabola terbuka kebawah dan mempunyai nilai ekstrim maksimum
Koordinat titik puncak/ titik ekstrim/titik stasioner/titik balik parabola adalah (xp, yp) dengan: Y= ax2+bx+c,Xp= ; yp= ; D = b2-4ac
Xp = absis (x) titik puncak =sumbu simetri = absis (x) saat mencapi nilai max dan minYp = ordinat (y) titik puncak = nilai ekstrim/ nilai stationer/ nilai max/ nilai min.
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat/ Parabola
1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x ày=0
¨Jika D<0 maka fungsi tersebut memeng tidak memiliki akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x ¨Jika D>0 maka fungsi tersebut memiliki akar-akar persamaan fungsi kuadrat menggunakan: x1.2=
b. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x =0 karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )
c. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem (yp) dari penentuan sumbu simetri (xp) dan nilai eksterm (yp) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola:( Xp , Yp)
1. Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola
a. Diketahui tiga titik sembarang
Rumus: y = ax2+bx+c
nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.
b. Parabola memotong sumbu x didua titik (x1,0) dan (x2,0)dan melalui satu titik sembarang
Rumus: y = a(x-x1).(x-x2)
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan Y
c. Parabola menyinggung sumbu x di satu titik (x1,0) dan melalui satu titik sembarang.
Rumus : y = a ( x - x1 )2
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.
d. Parabola melalui titik puncak ( xp , yp ) dan melalui satu titik sembarang.
Rumus : y = a ( x - xp )2 + yp
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.
Definisi :
1.fungsi f dikatakan naik pada interval IE, jika untuk sembarang X1, X2 ∈ I dengan X1 < X2 maka: f (X1 ) < f (X2 )
2. Fungsi f dikatakan turun pada interval I, jika untuk sembarang X1, X2 ∈ I dengan X1 < X2 maka:
f (X1 ) > f (X2 )
Contoh soal:
¨Fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 turun untuk semua x yang memenuhi ....
A.-3 < x < -1 C. 1 < X < 3 E. 3 < X < 4
B. -1 < X < 3 D. 1 < X < 4
Penyelasaian :
F(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2
F’(x) = 3x2 -12x + 9
Syarat fungsi turun : f’(x) < 0
3x2 - 12x + 9 < 0
x2 - 4x + 3 < 0
(x – 1)(x – 3) < 0
dengan garis bilangan diperoleh 1<x<3
Nilai Ekstrim
Definisi :
1. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum relatif di C, jika terdapat interval terbuka yang memuat c, sehingga:
f (c) ≥ f (x)
untuk x dalam interval tersebut.
2. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif di C, jika terdapat interval terbuka yang memuat c, sehingga:
f (c) ≤ f (x)
untuk x dalam interval tersebut.
3. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum relatif dan nilai maksimum relatif di C, dikatakan mempunyai ekstrim relatif di C.
Definisi :
Jika f’(x)=0, maka fungsi f dikatakan stasioner di c. Nilai f(c)disebut nilai stasioner dari f. Titik (c,f(c))disebut titik nilai stasioner dari f.
Kecekungan dan Titik Belok
Definisi 6.1
grafik fungsi f dikatakan cekung keatas pada interval I, jika grafik f terletak diatas semua garis singgungnya pada I, grafik fungsi f dikatakan cekung kebawah pada interval I. Jika grafik f terletak dibawah semua garis singgungnya pada I.
Teorema 7.1 uji kecekungan
1. Jika f” (x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung keatas pada I
2. Jika f” (x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung kebawah pada I
Definisi 6.2
Titik P pada kurva disebut titik belok, jika kurva berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas di P
Jika turunan kedua ada dititik belok , maka turunan kedua dititik tersebutsama dengan nol
Teorema 7.2
Jika f mempunyai turunan pada interval yang memuat c dan
(c, f(c)) adalah titik belok, maka f” c ada dan f”(c)=0.
Selain bermanfaat untuk menentukan titik belok, keuntungan lain dari turunan kedua adalah bahwa turunan tersebut dapat digunakan sebagai uji ekstrim relatif.
Teorema 7.3 (uji turunan kedua untuk ekstrim relatif)
misalkan f mempunyai turunan pada interval terbuka yang memuat c dan f’(c)=0
1. Jika f”(c) < 0, maka f mempunyai nilai maksimum relatif di c.
2. Jika f”(c) > 0, maka f mempunyai nilai minimum
relatif di c.
Ekstrim Mutlak pada Interval Tertutup
Definisi 6.3
Misalkan fungsi f terdefinisi pada interval tertutup dan c anggota interal.
1. Jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam interval , maka f(c) disebut nilai maksimum mutlak dari f pada interval tersebut.
2. Jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam interval , maka f(c) disebut nilai minimum mutlak dari f pada interval tersebut.
3. Jika f(c) maksimum mutlak dan minimum mutlak, maka f(c) disebut nilai ekstrim mutlakdari f
Teorema 6.4 (teorema nilai ekstrim)
Jika fungsi f aljabar dengan daerah asal interval tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak pada [a,b].
Contoh :
Diketahui f(x)= x3 - 3x2 pada interval tertutup [1,4]. Tentukan ekstrim mutlak dari f pada interval tersebut.
Penyelesaian :
Karena kontinu pada interval tertutup. Kita mempunyai
f’(x)= 3x2 – 6x
F’(x)=0⇔3x(x-2)=0
⇔ x=2 atau x=0( tidak memenuhi karena diluar interval)
F’(x)= 13 – 3(1)2 = -2 dan f(4)= 43 – 3(4)2 = 16, Dengan membandingkan ketiga bilangan ini, kita dapat nilai maksimum mutlak adalah f(4)=16 dan minumum mutlak adalah f(2)=-4.
PARABOLA
Fungsi kuadrat mempunyai bentuk umum
Y= f(x) = ax2 + bx + c;a≠0;a,b,c konstanta real.
¨Jika nilai a>0 maka parabola terbuka keatas dan mempunyai nilai ekstrim minimum, ¨Jika nilai a<0 maka parabola terbuka kebawah dan mempunyai nilai ekstrim maksimum
Koordinat titik puncak/ titik ekstrim/titik stasioner/titik balik parabola adalah (xp, yp) dengan: Y= ax2+bx+c,Xp= ; yp= ; D = b2-4ac
Xp = absis (x) titik puncak =sumbu simetri = absis (x) saat mencapi nilai max dan minYp = ordinat (y) titik puncak = nilai ekstrim/ nilai stationer/ nilai max/ nilai min.
Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat/ Parabola
1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x ày=0
¨Jika D<0 maka fungsi tersebut memeng tidak memiliki akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x ¨Jika D>0 maka fungsi tersebut memiliki akar-akar persamaan fungsi kuadrat menggunakan: x1.2=
b. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x =0 karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )
c. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem (yp) dari penentuan sumbu simetri (xp) dan nilai eksterm (yp) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola:( Xp , Yp)
1. Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola
a. Diketahui tiga titik sembarang
Rumus: y = ax2+bx+c
nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.
b. Parabola memotong sumbu x didua titik (x1,0) dan (x2,0)dan melalui satu titik sembarang
Rumus: y = a(x-x1).(x-x2)
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan Y
c. Parabola menyinggung sumbu x di satu titik (x1,0) dan melalui satu titik sembarang.
Rumus : y = a ( x - x1 )2
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.
d. Parabola melalui titik puncak ( xp , yp ) dan melalui satu titik sembarang.
Rumus : y = a ( x - xp )2 + yp
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.